【指数函数对数函数计算题集及答案】在数学学习过程中，指数函数和对数函数是高中阶段非常重要的内容，它们不仅在代数中频繁出现，还广泛应用于物理、化学、经济等多个领域。为了帮助学生更好地掌握这两类函数的性质及其运算方法，以下整理了一套涵盖基础到进阶的计算题，并附有详细解答，便于复习与巩固。
一、基础题型
1. 计算下列各式的值：
（1）$ 2^3 \times 2^5 $
（2）$ 3^4 \div 3^2 $
（3）$ (5^2)^3 $
（4）$ \log_2 8 $
（5）$ \log_{10} 100 $
答案：
（1）$ 2^{3+5} = 2^8 = 256 $
（2）$ 3^{4-2} = 3^2 = 9 $
（3）$ 5^{2 \times 3} = 5^6 = 15625 $
（4）$ \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 $
（5）$ \log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2 $
二、中等难度题型
2. 解下列方程：
（1）$ 2^{x} = 16 $
（2）$ 3^{x+1} = 81 $
（3）$ \log_5 x = 2 $
（4）$ \log_2 (x - 1) = 3 $
答案：
（1）$ 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4 $
（2）$ 3^{x+1} = 3^4 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3 $
（3）$ \log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25 $
（4）$ \log_2 (x - 1) = 3 \Rightarrow x - 1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9 $
三、综合应用题
3. 已知函数 $ f(x) = 2^x $，求：
（1）$ f(3) $
（2）$ f(-1) $
（3）若 $ f(a) = 8 $，求 $ a $ 的值
（4）比较 $ f(2) $ 和 $ f(-2) $ 的大小
答案：
（1）$ f(3) = 2^3 = 8 $
（2）$ f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2} $
（3）$ 2^a = 8 = 2^3 \Rightarrow a = 3 $
（4）$ f(2) = 4 $，$ f(-2) = \frac{1}{4} $，所以 $ f(2) > f(-2) $
四、拓展题型
4. 化简下列表达式：
（1）$ \log_3 9 + \log_3 27 $
（2）$ \log_4 16 - \log_4 2 $
（3）$ \log_2 (x^3) $
（4）$ \log_5 (xy) $，其中 $ x > 0, y > 0 $
答案：
（1）$ \log_3 9 + \log_3 27 = \log_3 (9 \times 27) = \log_3 243 = \log_3 3^5 = 5 $
（2）$ \log_4 16 - \log_4 2 = \log_4 \left(\frac{16}{2}\right) = \log_4 8 = \log_4 (2^3) = \frac{3}{2} $
（3）$ \log_2 (x^3) = 3 \log_2 x $
（4）$ \log_5 (xy) = \log_5 x + \log_5 y $
五、提高题型
5. 解下列方程：
（1）$ 2^{x} + 2^{-x} = 5 $
（2）$ \log_2 (x^2 - 1) = 3 $
（3）$ \log_3 (x + 2) + \log_3 (x - 1) = 2 $
答案：
（1）令 $ t = 2^x $，则原式变为 $ t + \frac{1}{t} = 5 $，即 $ t^2 - 5t + 1 = 0 $，解得 $ t = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} $，因此 $ x = \log_2 \left( \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \right) $
（2）$ x^2 - 1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 $
（3）$ \log_3 [(x + 2)(x - 1)] = 2 \Rightarrow (x + 2)(x - 1) = 3^2 = 9 $，展开得 $ x^2 + x - 2 = 9 \Rightarrow x^2 + x - 11 = 0 $，解得 $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2} $
总结
通过对指数函数与对数函数的计算练习，我们可以更加熟练地掌握其基本性质和运算规则。无论是简单的幂运算，还是复杂的对数方程，都需要我们具备扎实的基础知识和灵活的解题思路。希望这份题集能帮助你在学习中不断进步，提升数学思维能力。
