在数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要且基础的内容。无论是初中、高中还是大学阶段，三角函数都占据着举足轻重的地位。它不仅广泛应用于几何、物理、工程等领域，还在计算机图形学、信号处理等方面有着不可替代的作用。本文将系统地整理和归纳一些常见的三角函数公式，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
一、基本定义
在直角三角形中，设角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有以下基本三角函数定义：
- 正弦（sin）：sinθ = 对边 / 斜边 = a / c
- 余弦（cos）：cosθ = 邻边 / 斜边 = b / c
- 正切（tan）：tanθ = 对边 / 邻边 = a / b
- 余切（cot）：cotθ = 邻边 / 对边 = b / a
- 正割（sec）：secθ = 斜边 / 邻边 = c / b
- 余割（csc）：cscθ = 斜边 / 对边 = c / a
二、单位圆中的三角函数
在单位圆中，任意角θ对应的坐标为（cosθ, sinθ），因此可以进一步推导出以下关系：
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cscθ = 1 / sinθ
三、常用角度的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ | tanθ |
|-----------|-------------|------------|------------|------------|
| 0 | 0 | 0| 1| 0|
| 30| π/6 | 1/2| √3/2 | 1/√3 |
| 45| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1|
| 60| π/3 | √3/2 | 1/2| √3 |
| 90| π/2 | 1| 0| 无定义 |
四、三角恒等式
1. 基本恒等式
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
2. 和差角公式
- sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
- cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
- tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)
3. 倍角公式
- sin2θ = 2 sinθ cosθ
- cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
- tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ)
4. 半角公式
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ / (1 + cosθ)
五、积化和差与和差化积公式
积化和差
- sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
- cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2
- sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
和差化积
- sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
- cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2]
六、反三角函数的基本性质
- arcsin(sinθ) = θ（当θ ∈ [-π/2, π/2]）
- arccos(cosθ) = θ（当θ ∈ [0, π]）
- arctan(tanθ) = θ（当θ ∈ (-π/2, π/2)）
七、三角函数的图像与周期性
- 正弦函数 y = sinx 是奇函数，周期为 2π
- 余弦函数 y = cosx 是偶函数，周期也为 2π
- 正切函数 y = tanx 是奇函数，周期为 π
总结
三角函数是数学中极为重要的工具之一，掌握其基本公式和性质对于解决各种实际问题具有重要意义。通过不断练习和应用这些公式，可以更深入地理解其背后的数学逻辑，并在学习和工作中灵活运用。希望本文能为大家提供一个清晰、系统的三角函数知识参考。
