【两个空间向量叉乘公式】在三维几何中，两个空间向量的叉乘（也称为向量积）是一个重要的运算，它不仅能够表示两个向量所形成的平面的法向量，还能用于计算面积、体积以及判断方向等。本文将对两个空间向量的叉乘公式进行总结，并以表格形式展示其关键内容。
一、基本概念
叉乘定义：
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃) 是两个三维空间中的向量，则它们的叉乘 a × b 是一个与 a 和 b 都垂直的向量，其方向由右手定则确定，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。
二、叉乘公式
数学表达式：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
=
(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、叉乘的性质
| 属性 | 内容 | ||||||
| 交换律 | 不满足：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 数乘结合律 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ | ||||||
| 与零向量的关系 | $\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中θ为两向量夹角 |
四、叉乘的应用
| 应用场景 | 说明 | ||
| 法向量计算 | 叉乘结果可作为两个向量所确定平面的法向量 | ||
| 面积计算 | 两个向量组成的平行四边形面积为 $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | $ |
| 体积计算 | 三个向量组成的平行六面体体积为 $ | \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) | $ |
| 物理应用 | 如力矩、磁感应强度等物理量的计算 |
五、示例计算
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2×6 - 3×5, 3×4 - 1×6, 1×5 - 2×4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (-3, 6, -3)
$$
六、总结
两个空间向量的叉乘是一个非常有用的向量运算，它不仅能够帮助我们理解向量之间的几何关系，还能在多个实际问题中发挥重要作用。掌握其公式和性质，有助于提高在三维空间中的分析能力和计算效率。
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 两个空间向量叉乘公式 |
| 定义 | 向量积，结果为与原向量垂直的向量 |
| 公式 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ |
| 性质 | 不满足交换律，满足分配律和数乘结合律 |
| 应用 | 法向量、面积、体积、物理计算等 |
