费马小定理是数论中的一个重要定理，由法国数学家皮埃尔·德·费马提出。该定理的如果p是一个质数，a是任意一个整数，并且a与p互质（即a和p的最大公约数为1），那么a的(p-1)次方除以p的余数等于1。

要证明这个定理，我们可以采用一种叫做“同余”的方法来说明。首先，我们考虑从1到p-1的所有整数：1, 2, ..., p-1。这些数都是小于p并且与p互质的。当我们把这些数分别乘以a时，得到的新数列将是a, 2a, ..., (p-1)a。

接下来，我们需要证明这个新数列在模p的意义下仍然是1, 2, ..., p-1的一个排列。也就是说，对于任何两个不同的整数i和j（其中1 ≤ i, j ≤ p-1），ai和aj在模p下的余数也不同。这可以通过反证法来实现：假设存在两个不同的整数i和j使得ai ≡ aj (mod p)，那么可以得出(a(i-j)) ≡ 0 (mod p)。由于a与p互质，所以i-j必须能被p整除，但这是不可能的，因为|i-j| < p。因此，我们的假设不成立，新数列确实是一个排列。

现在我们知道新数列中的每个元素都对应着原数列中的某个元素，并且它们之间没有重复。因此，我们可以写出以下等式：

(1 2 ... (p-1)) ≡ (a 2a ... (p-1)a) (mod p)

注意到左边的乘积就是(p-1)!，而右边的乘积则是a^(p-1) (p-1)!。两边同时除以(p-1)!后，我们就得到了费马小定理的形式化表达式：

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

这就是费马小定理的完整证明过程。它不仅揭示了质数的一些奇妙性质，还为现代密码学提供了理论基础。例如，在RSA加密算法中，就广泛运用了这一原理。通过深入理解费马小定理及其证明过程，我们可以更好地欣赏数学的魅力，并发现更多隐藏在其背后的奥秘。