在数学中，向量是一种重要的工具，广泛应用于物理、工程以及计算机科学等领域。当我们提到向量相乘时，并不是指单一的一种运算方式，而是包含了多种不同的定义和应用场景。因此，要回答“向量相乘公式是什么”，我们需要先明确具体指的是哪种类型的向量乘法。

1. 点积（内积）

点积是两个向量之间最常见的一种乘法形式，通常用于计算两个向量之间的夹角或投影关系。假设我们有两个n维向量A = (a₁, a₂, ..., an) 和 B = (b₁, b₂, ..., bn)，它们的点积公式为：

\[ A \cdot B = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + anbn \]

点积的结果是一个标量值，而非向量。它表示了两个向量在同一方向上的相似程度。如果点积结果为正，则说明两向量夹角小于90度；若为负，则大于90度；若为零，则两向量相互垂直。

2. 叉积（外积）

叉积仅适用于三维空间中的两个向量，其结果仍然是一个三维向量，且该向量垂直于原始的两个向量所在平面。给定两个三维向量A = (x₁, y₁, z₁) 和 B = (x₂, y₂, z₂)，它们的叉积公式如下：

\[ A × B = \begin{vmatrix}

i & j & k \\

x₁ & y₁ & z₁ \\

x₂ & y₂ & z₂

\end{vmatrix} \]

其中，i、j、k 分别代表单位向量沿x轴、y轴、z轴方向。通过行列式展开，我们可以得到具体的分量表达式：

\[ A × B = (y₁z₂ - y₂z₁)i - (x₁z₂ - x₂z₁)j + (x₁y₂ - x₂y₁)k \]

叉积的方向遵循右手定则，即右手拇指指向第一个向量的方向，食指指向第二个向量的方向时，手掌弯曲的方向就是叉积向量的方向。

3. 张量积

张量积是一种更广泛的向量乘法概念，在高维空间或者更高阶的数学结构中使用较多。对于两个m维和n维的向量A和B，它们的张量积将产生一个m×n维度的新矩阵。每个元素由对应位置的分量相乘构成，即：

\[ C_{ij} = A_iB_j \]

张量积不仅限于向量，还可以扩展到矩阵甚至更高阶的张量之间。

总结

综上所述，“向量相乘公式是什么”这个问题并没有统一的答案，因为向量相乘的形式取决于具体的上下文需求。如果是二维或三维空间内的操作，点积和叉积是最常用的两种方法；而在抽象代数领域，则可能涉及更为复杂的张量积等高级运算。理解这些不同类型的乘法规则有助于我们在实际问题解决过程中选择合适的工具。