【arcsinx的导数怎么推导】在微积分中，反三角函数的导数是学习的重点内容之一。其中，$ \arcsin x $ 的导数是一个常见的问题。本文将详细讲解 $ \arcsin x $ 的导数推导过程，并以总结加表格的形式呈现结果。
一、推导过程
设 $ y = \arcsin x $，则根据反函数的定义，有：
$$
x = \sin y
$$
对两边关于 $ x $ 求导：
$$
\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} (\sin y)
$$
左边为 1，右边使用链式法则：
$$
1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
解出 $ \frac{dy}{dx} $：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}
$$
接下来，我们需要将 $ \cos y $ 表示成 $ x $ 的形式。因为 $ x = \sin y $，所以可以利用三角恒等式：
$$
\cos^2 y + \sin^2 y = 1 \Rightarrow \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
注意：由于 $ y = \arcsin x $ 的值域是 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $，在这个区间内 $ \cos y > 0 $，因此开根号时取正值。
二、总结与表格
| 函数表达式 | 导数公式 | 定义域 | 注意事项 |
| $ y = \arcsin x $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ x \in [-1, 1] $ | 导数在定义域内恒为正，且不包括端点 |
三、小结
- $ \arcsin x $ 是 $ \sin x $ 在 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ 区间上的反函数；
- 通过反函数求导法和三角恒等式，可以得到其导数为 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $；
- 推导过程中需注意 $ \cos y $ 的符号，确保导数的正确性。
通过以上步骤，我们清晰地理解了 $ \arcsin x $ 的导数是如何推导出来的，也掌握了其基本性质和应用范围。
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