【函数的导数公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数导数公式，有助于快速求解各类数学问题。以下是对常见函数导数公式的总结，并以表格形式进行清晰展示。
一、基本初等函数的导数
1. 常数函数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则导数为：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $，其中 $ n $ 为实数，则导数为：
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 指数函数
- 若 $ f(x) = a^x $，则导数为：
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
- 若 $ f(x) = e^x $，则导数为：
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数
- 若 $ f(x) = \log_a x $，则导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
- 若 $ f(x) = \ln x $，则导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数
- $ f(x) = \sin x $，导数为：
$$
f'(x) = \cos x
$$
- $ f(x) = \cos x $，导数为：
$$
f'(x) = -\sin x
$$
- $ f(x) = \tan x $，导数为：
$$
f'(x) = \sec^2 x
$$
- $ f(x) = \cot x $，导数为：
$$
f'(x) = -\csc^2 x
$$
6. 反三角函数
- $ f(x) = \arcsin x $，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arccos x $，导数为：
$$
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arctan x $，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、导数的基本运算法则
1. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x) \pm v'(x)
$$
2. 乘法法则
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
4. 链式法则
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则：
$$
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$
三、常见函数导数公式表
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
通过掌握这些基本的导数公式和运算法则，可以更高效地处理微积分中的各种问题。在实际应用中，灵活运用这些公式，能够帮助我们更好地理解函数的变化趋势与性质。
以上就是【函数的导数公式】相关内容，希望对您有所帮助。
