【高等数学求极限公式】在高等数学中，求极限是微积分的基础内容之一，广泛应用于函数分析、导数与积分的计算中。掌握常见的极限公式有助于快速解决相关问题。本文将对常见的求极限公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 常数极限 | $\lim_{x \to a} C = C$ | C为常数 |
| 多项式极限 | $\lim_{x \to a} (x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = a^n + a^{n-1} + \dots + a + 1$ | n为正整数 |
| 分式极限 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$（当分母不为0时） | f(x)、g(x)为多项式或连续函数 |
| 无穷小量乘积 | $\lim_{x \to 0} x \cdot \sin x = 0$ | 无穷小量乘以有界函数仍为无穷小 |
二、常用极限公式（三角函数）
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常用重要极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 利用泰勒展开推导 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 与$\sin x$类似 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限 |
三、指数与对数函数极限
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的导数基础 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数的导数基础 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学中的重要常数e的定义 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | 适用于任意底数a > 0 |
四、洛必达法则适用情况
| 情况 | 表达式 | 说明 |
| $\frac{0}{0}$型 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$，其中$f(a) = g(a) = 0$ | 可使用洛必达法则 |
| $\frac{\infty}{\infty}$型 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$，其中$f(a) = g(a) = \infty$ | 可使用洛必达法则 |
| $\infty - \infty$型 | 需先化简为分数形式 | 不可直接使用洛必达法则 |
五、其他常见极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$ | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$ | 推广形式 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^k - 1}{x} = k$ | $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^k - 1}{x} = k$ | 幂函数展开 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$ | 双曲函数的极限 |
总结
在高等数学中，求极限的方法多种多样，包括代入法、因式分解、有理化、洛必达法则、泰勒展开等。掌握上述基本极限公式对于解题具有重要意义。通过不断练习和应用这些公式，可以提高对极限的理解和运用能力。
建议在学习过程中结合具体例题，逐步加深对公式的理解和记忆。同时，注意不同情况下的适用条件，避免误用。
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