在数学学习中，线性方程组是一个非常重要的内容，尤其是在解决实际问题时，常常需要处理多个变量之间的关系。对于初学者来说，四元一次方程组可能显得有些复杂，但只要掌握了解题思路和方法，就能轻松应对。
所谓“4个未知数的一次方程组”，指的是由四个未知数（如 x、y、z、w）构成的多个一次方程组成的系统。这类方程组通常可以表示为：
$$
\begin{cases}
a_1x + b_1y + c_1z + d_1w = e_1 \\
a_2x + b_2y + c_2z + d_2w = e_2 \\
a_3x + b_3y + c_3z + d_3w = e_3 \\
a_4x + b_4y + c_4z + d_4w = e_4
\end{cases}
$$
其中，a₁, a₂, ..., e₄ 为已知常数，x、y、z、w 是未知数。
下面通过一个具体的例子来展示如何求解这样的方程组。
例题：
解下列四元一次方程组：
$$
\begin{cases}
x + y + z + w = 10 \quad (1) \\
2x - y + 3z - w = 5 \quad (2) \\
x + 2y - z + 2w = 8 \quad (3) \\
3x + y + 2z - w = 7 \quad (4)
\end{cases}
$$
解题步骤：
第一步：整理方程
我们先将这四个方程写成标准形式，方便后续运算。
方程（1）：
$$
x + y + z + w = 10
$$
方程（2）：
$$
2x - y + 3z - w = 5
$$
方程（3）：
$$
x + 2y - z + 2w = 8
$$
方程（4）：
$$
3x + y + 2z - w = 7
$$
第二步：消元法求解
我们可以使用代入法或加减消元法进行求解。这里以消元法为主。
首先，从方程（1）中解出一个变量，例如解出 $ w $：
$$
w = 10 - x - y - z \quad (1')
$$
然后将这个表达式代入其他三个方程中，从而减少未知数数量。
代入方程（2）：
$$
2x - y + 3z - (10 - x - y - z) = 5
$$
化简：
$$
2x - y + 3z - 10 + x + y + z = 5 \\
(2x + x) + (-y + y) + (3z + z) - 10 = 5 \\
3x + 4z - 10 = 5 \\
3x + 4z = 15 \quad (2')
$$
继续代入方程（3）：
$$
x + 2y - z + 2(10 - x - y - z) = 8
$$
展开并化简：
$$
x + 2y - z + 20 - 2x - 2y - 2z = 8 \\
(x - 2x) + (2y - 2y) + (-z - 2z) + 20 = 8 \\
- x - 3z + 20 = 8 \\
- x - 3z = -12 \quad (3')
$$
再代入方程（4）：
$$
3x + y + 2z - (10 - x - y - z) = 7
$$
展开并化简：
$$
3x + y + 2z - 10 + x + y + z = 7 \\
(3x + x) + (y + y) + (2z + z) - 10 = 7 \\
4x + 2y + 3z - 10 = 7 \\
4x + 2y + 3z = 17 \quad (4')
$$
第三步：简化方程组
现在我们有以下三个新方程：
- (2') $ 3x + 4z = 15 $
- (3') $ -x - 3z = -12 $
- (4') $ 4x + 2y + 3z = 17 $
接下来，我们可以用这两个方程继续消元。
从 (3') 中解出 x：
$$
-x = -12 + 3z \Rightarrow x = 12 - 3z \quad (3'')
$$
将其代入 (2')：
$$
3(12 - 3z) + 4z = 15 \\
36 - 9z + 4z = 15 \\
36 - 5z = 15 \\
-5z = -21 \Rightarrow z = \frac{21}{5} = 4.2
$$
再代入 (3'') 得：
$$
x = 12 - 3 \times 4.2 = 12 - 12.6 = -0.6
$$
接下来代入 (1') 求 w：
$$
w = 10 - x - y - z = 10 - (-0.6) - y - 4.2 = 10 + 0.6 - 4.2 - y = 6.4 - y
$$
最后代入 (4') 求 y：
$$
4x + 2y + 3z = 17 \\
4(-0.6) + 2y + 3(4.2) = 17 \\
-2.4 + 2y + 12.6 = 17 \\
10.2 + 2y = 17 \\
2y = 6.8 \Rightarrow y = 3.4
$$
再代入 w 的表达式：
$$
w = 6.4 - y = 6.4 - 3.4 = 3
$$
最终解：
$$
x = -0.6,\quad y = 3.4,\quad z = 4.2,\quad w = 3
$$
总结：
四元一次方程组虽然看起来复杂，但只要按照一定的步骤进行消元和代入，就可以逐步求解。在实际应用中，这类方程组常用于经济模型、物理问题、工程计算等领域。掌握好这类题目的解法，有助于提升逻辑思维能力和数学建模能力。
