在数学中，对数是一种非常重要的运算工具，广泛应用于各种科学领域。对数的基本概念是基于指数运算的逆运算。例如，如果 \(a^b = c\)，那么 \(\log_a c = b\)。以下是一些常用的对数公式：

1. 对数的基本性质

- \(\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\)

- \(\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N\)

- \(\log_a (M^p) = p \cdot \log_a M\)

2. 换底公式

对数可以改变底数而不改变其值，即：

\[

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

\]

特别地，当 \(c = 10\) 或 \(c = e\) 时，我们通常使用常用对数（以10为底）或自然对数（以e为底）。

3. 特殊值的对数

- \(\log_a 1 = 0\) （任何底数的1的对数都是0）

- \(\log_a a = 1\) （任何底数的自身的对数是1）

4. 对数的反函数

指数函数和对数函数互为反函数。例如，如果 \(y = \log_a x\)，则 \(x = a^y\)。

5. 自然对数的性质

自然对数是以 \(e\) 为底的对数，常用于微积分和物理学中。

- \(e^{\ln x} = x\)

- \(\ln (xy) = \ln x + \ln y\)

- \(\ln \left(\frac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y\)

- \(\ln (x^p) = p \cdot \ln x\)

这些公式在解决实际问题时非常有用，尤其是在处理增长速率、衰减过程以及复杂方程求解时。熟练掌握这些基本性质可以帮助我们更高效地进行计算和分析。