在概率论和统计学中，超几何分布是一种重要的离散概率分布。它描述的是从有限数量的物品中抽取一定数量的样本时，满足特定条件的结果数的概率分布。超几何分布广泛应用于质量控制、生物统计以及抽样调查等领域。
超几何分布的基本定义
假设我们有一个总体，其中包含 \( N \) 个元素，其中有 \( K \) 个是“成功”的（例如合格品），其余 \( N-K \) 个是“失败”的。现在从这个总体中随机不放回地抽取 \( n \) 个样本，记 \( X \) 为这 \( n \) 个样本中“成功”（即合格品）的数量。那么 \( X \) 的概率质量函数为：
\[
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, \min(n, K)
\]
这里，\( \binom{a}{b} \) 表示组合数，即从 \( a \) 个不同元素中选择 \( b \) 个元素的方法数。
超几何分布的期望
对于超几何分布 \( X \sim H(N, K, n) \)，其数学期望 \( E(X) \) 可以通过以下公式计算：
\[
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
\]
这个结果可以通过直观解释得到：每次抽取的成功概率为 \( \frac{K}{N} \)，而总共抽取了 \( n \) 次，因此期望值就是 \( n \) 次抽取中成功的平均次数。
超几何分布的方差
除了期望之外，超几何分布的方差 \( Var(X) \) 也可以精确计算。其公式如下：
\[
Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left( 1 - \frac{K}{N} \right) \cdot \frac{N-n}{N-1}
\]
需要注意的是，这里的分母 \( N-1 \) 是由于超几何分布是无放回抽样的结果，导致方差比有放回抽样的二项分布要小一些。
应用实例
假设一家工厂生产的产品总数为 \( N = 1000 \)，其中合格品数量为 \( K = 950 \)。质检部门计划从中随机抽取 \( n = 50 \) 件产品进行检查。根据超几何分布的性质，可以计算出合格品数量 \( X \) 的期望和方差：
\[
E(X) = 50 \cdot \frac{950}{1000} = 47.5
\]
\[
Var(X) = 50 \cdot \frac{950}{1000} \cdot \left( 1 - \frac{950}{1000} \right) \cdot \frac{1000-50}{1000-1} \approx 2.37
\]
通过这些计算，质检部门可以对抽检结果有更准确的预期，并据此调整检验策略。
总结
超几何分布在实际应用中具有重要意义，其期望和方差的公式为我们提供了强大的工具来分析和预测各种抽样问题。理解并掌握这些概念，不仅有助于解决具体的实际问题，还能为进一步深入学习概率论打下坚实的基础。
希望本文能帮助你更好地理解和应用超几何分布的相关知识！
