高中数学导数经典例题及解答（一）
在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念，它不仅贯穿了函数与微积分的核心部分，还广泛应用于实际问题的解决之中。为了帮助大家更好地掌握导数的相关知识，本文将通过几个经典例题及其详细解答，为大家提供一个清晰的理解路径。
例题一：求函数的导数
已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 $，求其导数 $ f'(x) $。
解法：
根据导数的基本公式：
$$
\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}
$$
以及线性性质：
$$
\frac{d}{dx}[af(x) + bg(x)] = a \cdot f'(x) + b \cdot g'(x)
$$
我们可以逐步计算：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}[x^3] - \frac{d}{dx}[3x^2] + \frac{d}{dx}[4]
$$
$$
f'(x) = 3x^2 - 6x + 0
$$
因此，最终结果为：
$$
f'(x) = 3x^2 - 6x
$$
例题二：利用导数判断函数的单调性
已知函数 $ g(x) = x^2 - 4x + 5 $，判断其在区间 $ [0, 3] $ 上的单调性。
解法：
首先，求出函数的导数：
$$
g'(x) = \frac{d}{dx}[x^2] - \frac{d}{dx}[4x] + \frac{d}{dx}[5]
$$
$$
g'(x) = 2x - 4
$$
接下来，分析导数的符号：
- 当 $ g'(x) > 0 $，即 $ 2x - 4 > 0 $，解得 $ x > 2 $；
- 当 $ g'(x) < 0 $，即 $ 2x - 4 < 0 $，解得 $ x < 2 $。
因此，在区间 $ [0, 3] $ 上：
- 在 $ [0, 2) $ 内，$ g'(x) < 0 $，函数递减；
- 在 $ (2, 3] $ 内，$ g'(x) > 0 $，函数递增。
综上所述，函数在 $ [0, 3] $ 上先递减后递增。
例题三：应用导数解决实际问题
某工厂生产某种产品的成本函数为 $ C(x) = x^3 - 9x^2 + 27x + 10 $，其中 $ x $ 表示产量（单位：件）。试确定生产多少件时，平均成本最低？
解法：
平均成本函数为：
$$
A(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{x^3 - 9x^2 + 27x + 10}{x}
$$
化简得：
$$
A(x) = x^2 - 9x + 27 + \frac{10}{x}
$$
求导数：
$$
A'(x) = \frac{d}{dx}[x^2] - \frac{d}{dx}[9x] + \frac{d}{dx}[27] + \frac{d}{dx}\left[\frac{10}{x}\right]
$$
$$
A'(x) = 2x - 9 - \frac{10}{x^2}
$$
令 $ A'(x) = 0 $，得到：
$$
2x - 9 - \frac{10}{x^2} = 0
$$
整理后：
$$
2x^3 - 9x^2 - 10 = 0
$$
通过数值方法或观察法，可得 $ x = 5 $ 是方程的一个解。进一步验证可得，当 $ x = 5 $ 时，平均成本达到最小值。
以上便是三个经典例题及其解答，希望能帮助大家加深对导数的理解和应用能力。如果还有其他问题，欢迎随时交流！
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希望这篇内容能满足您的需求！
