线性规划是运筹学中的一个重要分支，广泛应用于经济管理、工业生产、交通运输等领域。通过建立数学模型，线性规划能够帮助我们解决资源分配、成本最小化、利润最大化等问题。为了更好地掌握这一工具，本文精选了一些典型的线性规划习题，并附有详细的解答过程。

例题1：资源分配问题

某工厂生产两种产品A和B，每种产品的单位利润分别为5元和4元。生产这两种产品需要使用两种原材料甲和乙，具体消耗情况如下表所示：

| 产品 | 原材料甲（单位） | 原材料乙（单位） |

|------|------------------|------------------|

| A| 2| 3|

| B| 1| 2|

现有原材料甲120单位，乙80单位。问如何安排生产计划才能使总利润最大？

解法：

设生产A产品x单位，B产品y单位，则目标函数为：

\[ Z = 5x + 4y \]

约束条件为：

\[ 2x + y \leq 120 \]

\[ 3x + 2y \leq 80 \]

\[ x, y \geq 0 \]

利用图解法或单纯形法求解，得到最优解为x=20，y=40，最大利润Z=260元。

例题2：成本最小化问题

某公司需将货物从三个仓库运输到四个销售点，各仓库的供应量和各销售点的需求量以及单位运输成本见下表：

| 仓库/销售点 | 销售点1 | 销售点2 | 销售点3 | 销售点4 | 供应量 |

|--------------|----------|----------|----------|----------|---------|

| 仓库1| 5| 8| 7| 6| 100 |

| 仓库2| 6| 9| 5| 8| 150 |

| 仓库3| 7| 5| 6| 9| 200 |

| 需求量 | 120| 100| 90 | 140| |

试确定运输方案，使得总运输成本最低。

解法：

设xij表示从仓库i到销售点j的运输量，则目标函数为：

\[ Z = 5x_{11} + 8x_{12} + 7x_{13} + 6x_{14} + 6x_{21} + 9x_{22} + 5x_{23} + 8x_{24} + 7x_{31} + 5x_{32} + 6x_{33} + 9x_{34} \]

约束条件为：

\[ x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} \leq 100 \]

\[ x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{24} \leq 150 \]

\[ x_{31} + x_{32} + x_{33} + x_{34} \leq 200 \]

\[ x_{11} + x_{21} + x_{31} = 120 \]

\[ x_{12} + x_{22} + x_{32} = 100 \]

\[ x_{13} + x_{23} + x_{33} = 90 \]

\[ x_{14} + x_{24} + x_{34} = 140 \]

\[ x_{ij} \geq 0 \]

通过线性规划算法求解，得到最优运输方案及最低总运输成本。

以上两道题目展示了线性规划在实际问题中的应用。通过合理构建数学模型并运用适当的方法进行求解，可以有效地解决问题。希望这些习题能帮助大家加深对线性规划的理解与掌握。