【求不定积分:】在微积分中，不定积分是导数的逆运算，用于找到一个函数的原函数。求不定积分的过程可以看作是“反向求导”。以下是常见函数的不定积分公式总结，便于快速查阅和应用。
一、基本不定积分公式总结
| 原函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | 说明 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ (n ≠ -1) | 幂函数积分公式 | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数积分 | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | 底数为常数的指数函数 | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 对数函数积分 |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | 三角函数积分 | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ | 三角函数积分 |
二、常用积分技巧
1. 换元法（凑微分）：适用于复合函数的积分，如 $ \int f(g(x))g'(x) \, dx $，令 $ u = g(x) $。
2. 分部积分法：适用于乘积形式的积分，公式为 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $。
3. 分式分解：对于有理函数，可将其拆分为更简单的分式进行积分。
4. 三角代换：适用于含有根号或平方项的积分，如 $ \sqrt{a^2 - x^2} $ 等。
三、注意事项
- 不定积分的结果中必须加上常数 $ C $，因为原函数有无穷多个。
- 积分结果可能因不同方法而呈现不同形式，但它们之间相差一个常数。
- 在实际计算中，需注意积分域是否合理，特别是涉及对数或根号的情况。
通过掌握这些基础公式与技巧，可以有效提高不定积分的解题能力。建议多做练习题，熟悉各种类型的积分问题，并逐步提升自己的数学思维能力。
