【如何证明函数有界】在数学分析中，判断一个函数是否为有界函数是一个重要的问题。函数的有界性不仅影响其连续性和可积性，还对极限、导数等概念的理解具有重要意义。本文将总结常见的证明方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的处理方式。

一、函数有界的定义

若存在一个正实数 $ M $，使得对于所有定义域内的 $ x $，都有

$$

$$

则称函数 $ f(x) $ 在其定义域内是有界的。

二、常见证明方法总结

三、举例说明

例1：用直接估计法证明 $ f(x) = \sin(x) $ 有界

因为 $ \sin(x) \leq 1 $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 成立，所以 $ f(x) $ 是有界的。

例2：用极值法证明 $ f(x) = x^2 $ 在区间 $ [0, 2] $ 上有界

由于 $ f(x) $ 在闭区间上连续，根据极值定理，它在该区间上有最大值和最小值，因此有界。

例3：用夹逼定理证明 $ f(x) = x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) $ 在 $ x \neq 0 $ 时有界

注意到 $ \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 $，所以

$$

$$

当 $ x $ 接近 0 时，$ x $ 可以任意小；当 $ x $ 远离 0 时，$ x $ 也有限。因此，函数整体有界。

四、注意事项

- 有界性与连续性有关，但不是充要条件；

- 有界函数不一定连续，例如分段函数可能在某些点不连续但仍有界；

- 在无穷区间上，函数可能无界，如 $ f(x) = x $ 在 $ \mathbb{R} $ 上无界。

五、总结

通过上述方法，我们可以系统地判断函数是否为有界函数。在实际应用中，应根据函数的具体形式和定义域选择合适的证明策略。