在物理学中，多普勒效应是一种常见的现象，它描述了当波源和观察者之间存在相对运动时，观察到的波频率发生变化的现象。这种效应不仅适用于声波，也适用于电磁波，比如光波。以下是多普勒效应的四个基本公式：

1. 声波多普勒效应公式（移动的声源）

当声源和观察者之间的相对速度不为零时，观察到的声音频率 \( f' \) 可以通过以下公式计算：

\[

f' = f \cdot \frac{v}{v - v_s}

\]

其中：

- \( f \) 是声源发出的原始频率。

- \( v \) 是声波在介质中的传播速度。

- \( v_s \) 是声源相对于介质的速度。

如果声源朝向观察者移动，\( v_s \) 为正值；如果声源远离观察者，则 \( v_s \) 为负值。

2. 观察者移动的情况

当观察者相对于介质移动而声源静止时，观察到的频率 \( f' \) 可表示为：

\[

f' = f \cdot \frac{v + v_o}{v}

\]

其中：

- \( v_o \) 是观察者相对于介质的速度。

- 如果观察者朝向声源移动，\( v_o \) 为正值；如果观察者远离声源，则 \( v_o \) 为负值。

3. 声源与观察者同时移动

当声源和观察者都相对于介质运动时，公式可以结合上述两种情况，写成：

\[

f' = f \cdot \frac{v + v_o}{v - v_s}

\]

这个公式综合考虑了两者之间的相对运动对频率的影响。

4. 光学多普勒效应公式

对于光波或多普勒效应在电磁波领域的应用，由于光速 \( c \) 是常数，公式的形式略有不同。假设光源和观察者的相对速度 \( v_r \) 远小于光速 \( c \)，则可以用以下近似公式表示：

\[

f' = f \cdot \sqrt{\frac{c - v_r}{c + v_r}}

\]

这里：

- \( f \) 是光源发出的原始频率。

- \( f' \) 是观察者接收到的频率。

- \( v_r \) 是光源或观察者相对于参考系的相对速度。

如果光源靠近观察者，则 \( v_r \) 为正值；如果光源远离观察者，则 \( v_r \) 为负值。

总结来说，多普勒效应的核心在于波源与观察者之间的相对运动导致了频率的变化。这些公式广泛应用于天文学、声学以及雷达技术等领域，帮助我们更好地理解和分析动态系统中的波动行为。