切比雪夫定理是概率论与数理统计中的一个重要定理，它描述了随机变量与其期望值之间的关系。这个定理的核心在于通过一个简单的不等式来衡量随机变量偏离其均值的程度。

设 \( X \) 是一个随机变量，其数学期望为 \( E(X) = \mu \)，方差为 \( D(X) = \sigma^2 \)，那么对于任意正数 \( k > 0 \)，切比雪夫不等式可以表示为：

\[

P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}

\]

这条公式表明，随机变量 \( X \) 的取值落在距离其均值 \( \mu \) 至少 \( k \) 倍标准差之外的概率不会超过 \( \frac{1}{k^2} \)。换句话说，随着 \( k \) 的增大，这一概率会迅速减小，这意味着随机变量的取值更倾向于集中在均值附近。

例如，当 \( k = 2 \) 时，概率 \( P(|X - \mu| \geq 2\sigma) \leq \frac{1}{4} \)，即随机变量 \( X \) 落在均值 \( \mu \pm 2\sigma \) 之外的概率不超过 25%。

切比雪夫定理的应用非常广泛，尤其是在统计学和数据分析中。它可以用来评估数据分布的集中趋势以及异常值的可能性。此外，在实际问题中，当缺乏关于随机变量的具体分布信息时，切比雪夫不等式提供了一个通用的方法来估计概率上限。

需要注意的是，切比雪夫不等式的结论是保守的，它给出的是概率的上界而非精确值。因此，在某些情况下，使用其他更具体的分布假设（如正态分布）可能会得到更精确的结果。然而，由于切比雪夫定理适用于任何具有有限方差的随机变量，它的适用范围极其广泛。

总之，切比雪夫定理以其简洁性和普适性成为概率论中的经典工具之一，为理解和分析随机现象提供了重要的理论支持。