在数学领域中，微积分作为一门研究变化率和累积量的学科，是现代科学和技术的基础工具之一。掌握微积分的基本公式不仅有助于解决复杂的数学问题，还能为物理学、工程学以及经济学等领域的学习提供坚实的基础。以下是16个重要的微积分基本公式，它们涵盖了导数、积分以及其他核心概念。

1. 幂函数求导法则

若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)。

2. 指数函数求导法则

若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)；若 \( f(x) = a^x \)，则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。

3. 对数函数求导法则

若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)；若 \( f(x) = \log_a(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \)。

4. 三角函数求导法则

若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)；若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)。

5. 反三角函数求导法则

若 \( f(x) = \arcsin(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)；若 \( f(x) = \arctan(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)。

6. 乘积法则

若 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 是可导函数，则 \( (uv)' = u'v + uv' \)。

7. 商法则

若 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 是可导函数且 \( v(x) \neq 0 \)，则 \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)。

8. 链式法则

若 \( y = f(u) \) 且 \( u = g(x) \)，则 \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)。

9. 定积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

若 \( F(x) \) 是 \( f(x) \) 的一个原函数，则 \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \)。

10. 不定积分的基本性质

若 \( f(x) \) 是可积函数，则 \( \int k f(x) dx = k \int f(x) dx \)（其中 \( k \) 为常数）。

11. 分部积分法

若 \( u = u(x) \) 和 \( v = v(x) \) 可导，则 \( \int u dv = uv - \int v du \)。

12. 换元积分法

若 \( x = g(t) \)，则 \( \int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt \)。

13. 双曲函数求导公式

若 \( f(x) = \sinh(x) \)，则 \( f'(x) = \cosh(x) \)；若 \( f(x) = \cosh(x) \)，则 \( f'(x) = \sinh(x) \)。

14. 反双曲函数求导公式

若 \( f(x) = \text{arsinh}(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \)；若 \( f(x) = \text{artanh}(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{1-x^2} \)。

15. 隐函数求导法则

若 \( F(x, y) = 0 \)，则 \( \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} \)。

16. 偏导数的链式法则

若 \( z = f(x, y) \)，而 \( x = g(t) \) 和 \( y = h(t) \)，则 \( \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} \)。

这些公式构成了微积分的核心框架，无论是在理论推导还是实际应用中都具有重要意义。熟练掌握这些公式，并结合具体问题灵活运用，能够帮助我们更高效地解决问题并探索未知的数学世界。