在物理学中，万有引力定律是一个基础而重要的理论，它揭示了宇宙万物之间普遍存在的吸引力规律。由牛顿提出的这一伟大定律，不仅奠定了经典力学的基础，还为解决天体运动、地球表面重力加速度等问题提供了有力工具。今天，我们就通过几个实际应用题目来深入理解万有引力定律的意义及其广泛用途。
问题一：卫星绕地球运行轨道高度计算
假设一颗人造卫星围绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为 $ M = 6 \times 10^{24} \, \mathrm{kg} $，地球半径为 $ R = 6.4 \times 10^6 \, \mathrm{m} $，卫星的运行周期为 $ T = 90 \, \mathrm{min} $。求该卫星距离地表的高度 $ h $。
解题思路：
根据万有引力定律和向心力公式，可以列出以下关系式：
$$
F_{\text{引力}} = F_{\text{向心}}
$$
即：
$$
\frac{G M m}{(R + h)^2} = m \frac{4 \pi^2 (R + h)}{T^2}
$$
其中，$ G = 6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} $ 是引力常量，$ m $ 为卫星质量（可约去），$ R+h $ 表示卫星到地心的距离。
化简后得到：
$$
(R + h)^3 = \frac{GM T^2}{4 \pi^2}
$$
代入已知数据并计算，最终解得 $ h \approx 3.5 \times 10^7 \, \mathrm{m} $。
问题二：两颗行星间的引力作用
假设有两颗行星，其质量分别为 $ m_1 = 5 \times 10^{24} \, \mathrm{kg} $ 和 $ m_2 = 2 \times 10^{24} \, \mathrm{kg} $，它们之间的平均距离为 $ d = 1.5 \times 10^{11} \, \mathrm{m} $。试计算这两颗行星之间的引力大小。
解题思路：
利用万有引力公式：
$$
F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}
$$
将所有参数代入公式，即可求得结果：
$$
F = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) (5 \times 10^{24}) (2 \times 10^{24})}{(1.5 \times 10^{11})^2}
$$
经过计算，$ F \approx 2.96 \times 10^{20} \, \mathrm{N} $。
问题三：地球表面重力加速度的影响因素
某地区海拔较高，测得此处的重力加速度为 $ g' = 9.78 \, \mathrm{m/s^2} $，低于标准值 $ g = 9.8 \, \mathrm{m/s^2} $。试分析造成这种现象的原因，并估算此地区的海拔高度。
解题思路：
地球表面的重力加速度由万有引力和离心力共同决定。公式为：
$$
g = \frac{GM}{R^2} - \omega^2 R
$$
其中，$ \omega $ 为地球自转角速度，约为 $ 7.29 \times 10^{-5} \, \mathrm{rad/s} $。当海拔升高时，$ R $ 增大导致 $ g $ 减小。设标准重力加速度对应的地球半径为 $ R_0 = 6.371 \times 10^6 \, \mathrm{m} $，则有：
$$
\Delta g = g - g' = \frac{GM}{R_0^2} - \frac{GM}{(R_0 + h)^2} - \omega^2 h
$$
忽略离心力影响后，近似得到：
$$
h \approx \frac{g - g'}{g} R_0
$$
代入数据计算得 $ h \approx 200 \, \mathrm{m} $。
通过以上三个例子可以看出，万有引力定律不仅是描述天体运动的重要工具，还可以用于解释日常生活中的物理现象。无论是卫星发射、行星探测还是地质勘探，都离不开这一基本原理的支持。希望这些题目能够帮助大家更好地掌握万有引力定律的实际应用！
