在高等数学的学习过程中，不定积分是一个重要的知识点，它不仅是微分学的逆运算，也是解决许多实际问题的基础工具。今天我们来探讨一个具体的不定积分问题：求解 ∫x·arctan(x)dx。

要解决这个问题，我们可以采用分部积分法。分部积分法的基本公式为：

∫u·dv = u·v - ∫v·du

在这个问题中，我们选择u=arctan(x)，dv=x·dx。这样做的原因是arctan(x)的导数相对简单，而x的积分也容易计算。

首先，我们需要确定u和dv的具体形式：

u = arctan(x)

dv = x·dx

接下来，分别计算du和v：

du = (1/(1+x^2))·dx

v = (1/2)x^2

现在将这些值代入分部积分公式：

∫x·arctan(x)dx = (1/2)x^2·arctan(x) - ∫(1/2)x^2·(1/(1+x^2))·dx

简化后得到：

∫x·arctan(x)dx = (1/2)x^2·arctan(x) - (1/2)∫(x^2/(1+x^2))·dx

对于第二个积分部分，我们可以进行进一步的简化。注意到x^2/(1+x^2)可以写成1 - 1/(1+x^2)，因此：

∫(x^2/(1+x^2))·dx = ∫(1 - 1/(1+x^2))·dx = ∫1·dx - ∫(1/(1+x^2))·dx

这两个积分分别是x和arctan(x)，所以最终结果为：

∫x·arctan(x)dx = (1/2)x^2·arctan(x) - (1/2)x + (1/2)arctan(x) + C

这里C是积分常数。通过上述步骤，我们成功地解决了这个不定积分问题。

总结来说，分部积分法是一种非常有效的工具，用于处理形如uv'的积分问题。在实际应用中，选择合适的u和dv是关键，这需要一定的经验和技巧。希望这次讲解能够帮助大家更好地理解和掌握不定积分的求解方法。