在数学中，向量是一个重要的概念，它不仅具有大小，还带有方向。而在二维平面中，我们通常讨论的是平面向量。当提到平面向量的“相乘”时，实际上存在两种主要的运算方式：点积（内积）和叉积（外积）。这两种运算有着不同的意义和应用场景，下面我们来详细探讨一下。

点积（内积）

点积是两个向量之间的标量值运算，其结果是一个数值而非向量。点积的定义如下：

若有两个向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)，则它们的点积为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2

\]

点积还可以通过向量的模长和夹角来表示：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta

\]

其中 \(|\vec{a}|\) 和 \(|\vec{b}|\) 分别是向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的模长，\(\theta\) 是这两个向量之间的夹角。

点积的应用非常广泛，例如用于判断两个向量是否垂直（如果点积为零，则两向量垂直）、计算投影等。

叉积（外积）

叉积则是两个向量之间的一种矢量值运算，其结果是一个新的向量，且这个新向量垂直于原来的两个向量所在的平面。在二维平面中，叉积的结果通常被简化为一个标量值，表示面积。

对于二维向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)，它们的叉积可以表示为：

\[

\vec{a} \times \vec{b} = a_1b_2 - a_2b_1

\]

这个结果实际上等于由这两个向量构成的平行四边形的面积的代数值。如果结果为正，则说明 \(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 的左侧；如果结果为负，则说明 \(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 的右侧。

总结

平面向量的“相乘”具体指的是点积或叉积。点积主要用于获取两个向量的相关性或投影信息，而叉积则更多地用于计算几何中的面积或其他相关问题。理解这两种运算的本质及其应用，能够帮助我们在解决实际问题时更加得心应手。