在数学中，最大公因数（Greatest Common Divisor, GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）是两个非常重要的概念。它们不仅在理论研究中有广泛应用，在实际问题解决中也扮演着不可或缺的角色。今天，我们就以数字60和210为例，来详细探讨这两个数值的最大公因数与最小公倍数。

一、分解质因数法

要找到60和210的最大公因数与最小公倍数，最直观的方法之一就是先对这两个数进行质因数分解。

- 60的质因数分解

60可以被分解为：

\[

60 = 2^2 \times 3 \times 5

\]

- 210的质因数分解

210也可以被分解为：

\[

210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7

\]

从上述分解可以看出，60和210的公共质因数包括2、3和5。接下来，我们利用这些公共质因数计算最大公因数和最小公倍数。

二、最大公因数（GCD）

最大公因数是指两个数的所有质因数中，每种质因数取最小次幂后相乘得到的结果。

对于60和210：

- 公共质因数为2、3和5。

- 取每个质因数的最小次幂：

- 质因数2：\(2^1\)（因为2在210中的次幂比60小）；

- 质因数3：\(3^1\)；

- 质因数5：\(5^1\)。

因此，最大公因数为：

\[

\text{GCD}(60, 210) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30

\]

三、最小公倍数（LCM）

最小公倍数则是指两个数的所有质因数中，每种质因数取最大次幂后相乘得到的结果。

对于60和210：

- 所有质因数包括2、3、5和7。

- 取每个质因数的最大次幂：

- 质因数2：\(2^2\)（因为2在60中的次幂较大）；

- 质因数3：\(3^1\)；

- 质因数5：\(5^1\)；

- 质因数7：\(7^1\)。

因此，最小公倍数为：

\[

\text{LCM}(60, 210) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 420

\]

四、总结

通过以上分析，我们可以得出以下结论：

- 60和210的最大公因数为30；

- 60和210的最小公倍数为420。

这种方法不仅适用于这两个具体的例子，还可以推广到其他任意两个正整数的计算中。希望本文能帮助大家更好地理解最大公因数与最小公倍数的概念及其求解方法！