【韦达定理公式推导过程】在初中数学中，韦达定理是一个非常重要的知识点，它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系。掌握这一原理不仅有助于解题，还能加深对二次方程的理解。下面将通过和表格的形式，详细展示韦达定理的推导过程。
一、
韦达定理是法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）提出的一种数学规律，适用于一元二次方程。对于一般形式为：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
设其两个实数根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则根据韦达定理，有以下两个基本关系：
- 根的和：$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
- 根的积：$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $
这些关系可以通过求根公式或因式分解的方法进行推导。
二、推导过程说明
1. 利用求根公式推导
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其求根公式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
因此，两个根分别为：
$$
x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
计算它们的和：
$$
x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}
$$
计算它们的积：
$$
x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \cdot \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right)
$$
利用平方差公式：
$$
= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}
$$
因此，得到韦达定理的两个核心公式。
三、推导过程表格
| 步骤 | 推导内容 | 公式表达 |
| 1 | 设一元二次方程为 $ ax^2 + bx + c = 0 $ | $ ax^2 + bx + c = 0 $ |
| 2 | 求根公式为 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 3 | 分别写出两个根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ | $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ $ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 4 | 计算两根之和 $ x_1 + x_2 $ | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ |
| 5 | 计算两根之积 $ x_1 \cdot x_2 $ | $ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $ |
四、总结
通过上述推导可以看出，韦达定理是基于一元二次方程的求根公式得出的结论。它不仅提供了根与系数之间的直接关系，还为后续的代数问题提供了简便的解题方法。理解并掌握韦达定理的推导过程，有助于提升数学思维能力和解题效率。
