【等差等比数列基本公式】在数列的学习中，等差数列和等比数列是最基础且重要的两种数列类型。它们不仅在数学中有广泛的应用，也在实际生活中如金融、物理、工程等领域经常出现。掌握它们的基本公式，有助于快速求解相关问题。
一、等差数列
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。
前 $ n $ 项和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
二、等比数列
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。
前 $ n $ 项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
当 $ r = 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot n $$
三、总结对比表格
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 公差 $ d $ | $ d = a_{n+1} - a_n $ | $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 当 $ d = 0 $ 时，所有项相等 | 当 $ r = 1 $ 时，所有项相等 |
通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列虽然形式不同，但都有清晰的规律和公式支持。理解并熟练应用这些公式，是解决数列问题的关键。希望本文能帮助你在学习过程中更加得心应手。
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