【n项和求和公式】在数学中，数列的求和是一个非常重要的概念，尤其在等差数列、等比数列以及一些特殊数列中，常常需要计算前n项的和。掌握这些求和公式不仅有助于解决实际问题，还能提高解题效率。
以下是对常见数列前n项和公式的总结，以文字说明加表格的形式呈现，便于查阅与理解。
一、等差数列的前n项和
定义：一个数列中，每一项与前一项的差为常数，这样的数列称为等差数列。
通项公式：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
二、等比数列的前n项和
定义：一个数列中，每一项与前一项的比为常数，这样的数列称为等比数列。
通项公式：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
前n项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、自然数的平方和
定义：自然数的平方和是指从1²到n²的总和。
公式：
$$
S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
$$
四、自然数的立方和
定义：自然数的立方和是指从1³到n³的总和。
公式：
$$
S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2
$$
五、简单数列的求和（如1+2+3+…+n）
定义：这是最基础的自然数求和问题。
公式：
$$
S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
$$
常见数列前n项和公式总结表
| 数列类型 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 等差数列 | 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 等差数列 | 另一种形式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 等比数列 | 前n项和（r≠1） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
| 等比数列 | 当r=1时 | $ S_n = n \cdot a_1 $ |
| 自然数平方和 | 平方和公式 | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ |
| 自然数立方和 | 立方和公式 | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ |
| 自然数求和 | 简单求和 | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ |
通过以上公式，我们可以快速计算出不同数列的前n项和，适用于数学分析、工程计算、计算机算法设计等多个领域。掌握这些基本公式是学习更复杂数列和级数的基础，建议多加练习，灵活运用。
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