【不定积分习题(含答案)】在微积分的学习过程中，不定积分是一个非常重要的知识点。它不仅是导数的逆运算，也是解决许多实际问题的基础工具。本文将提供一些典型的不定积分练习题，并附上详细的解答过程，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
一、基本积分公式回顾
在开始做题之前，先回顾一下常见的不定积分公式：
1. $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
2. $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
3. $\int e^x \, dx = e^x + C$
4. $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0$, $a \neq 1$）
5. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
6. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
7. $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
8. $\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
9. $\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C$
10. $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C$
二、典型练习题及解答
题目1：
计算 $\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx$
解：
利用积分的线性性质，逐项积分：
$$
\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx
$$
$$
= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^3 + x^2 + x + C
$$
答案： $x^3 + x^2 + x + C$
题目2：
计算 $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx$
解：
观察分子是分母的导数：
$$
\frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 1) = 2x + 3
$$
因此，原式可以写成：
$$
\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx = \int \frac{d(x^2 + 3x + 1)}{x^2 + 3x + 1} = \ln |x^2 + 3x + 1| + C
$$
答案： $\ln |x^2 + 3x + 1| + C$
题目3：
计算 $\int \frac{1}{(x+1)^2} \, dx$
解：
令 $u = x + 1$，则 $du = dx$，代入得：
$$
\int \frac{1}{(x+1)^2} \, dx = \int \frac{1}{u^2} \, du = \int u^{-2} \, du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{x+1} + C
$$
答案： $-\frac{1}{x+1} + C$
题目4：
计算 $\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx$
解：
使用标准积分公式：
$$
\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C
$$
这里 $a = 2$，所以：
$$
\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C
$$
答案： $\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$
题目5：
计算 $\int x \cdot e^{x^2} \, dx$
解：
令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，即 $x \, dx = \frac{1}{2} du$，代入得：
$$
\int x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C
$$
答案： $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$
三、总结
通过以上几道题目可以看出，不定积分的求解需要灵活运用基本公式和变量替换等方法。在实际应用中，还需要注意积分常数 $C$ 的添加，以及对被积函数结构的分析。
希望这些练习题能够帮助你巩固不定积分的相关知识，提升解题能力。如果你还有更多问题，欢迎继续提问！
