【立体几何练习题含答案】在数学学习中，立体几何是高中阶段的重要内容之一，它研究的是三维空间中的点、线、面及其相互关系。掌握好立体几何知识不仅有助于提升空间想象力，还能为后续学习解析几何、向量分析等打下坚实基础。
为了帮助同学们更好地理解和巩固所学知识，以下是一些精选的立体几何练习题，并附有详细解答，便于大家自我检测与复习。
一、选择题
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两个平面平行，则它们之间的距离处处相等
B. 两个平面垂直，则它们的交线一定与这两个平面都垂直
C. 一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
D. 两个平面相交，其交线是一条直线
答案：D
2. 正方体的棱长为 $ a $，则其对角线长度为（ ）
A. $ a $
B. $ \sqrt{2}a $
C. $ \sqrt{3}a $
D. $ 2a $
答案：C
3. 一个正四棱锥的底面是一个边长为 2 的正方形，高为 3，那么它的体积是（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：B
二、填空题
1. 在空间中，若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面的关系是________。
答案：垂直
2. 一个圆柱的底面半径为 $ r $，高为 $ h $，则其体积为________。
答案：$ \pi r^2 h $
3. 一个正三棱柱的底面边长为 2，侧棱长为 3，则其侧面积为________。
答案：18
三、解答题
1. 已知一个正四面体的棱长为 $ a $，求其体积。
解：
正四面体的体积公式为：
$$
V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3
$$
因此，当棱长为 $ a $ 时，体积为 $ \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 $。
2. 一个长方体的长宽高分别为 3、4、5，求其外接球的表面积。
解：
长方体的外接球直径为其对角线长度。
对角线长度：
$$
d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
$$
因此，半径 $ R = \frac{5\sqrt{2}}{2} $，表面积为：
$$
S = 4\pi R^2 = 4\pi \left( \frac{25 \times 2}{4} \right) = 50\pi
$$
3. 在空间直角坐标系中，已知点 $ A(1, 2, 3) $、$ B(4, 5, 6) $、$ C(7, 8, 9) $，判断这三点是否共线。
解：
向量 $ \vec{AB} = (3, 3, 3) $，向量 $ \vec{AC} = (6, 6, 6) $。
由于 $ \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AB} $，说明两向量方向相同，且起点相同，故三点共线。
四、总结
通过以上练习题，我们可以进一步加深对立体几何基本概念的理解，包括空间中点、线、面的位置关系、几何体的体积和表面积计算、以及向量在立体几何中的应用等。建议同学们在做题过程中注重逻辑推理和空间想象能力的培养，同时多加练习，提高解题速度和准确率。
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