在学习《控制工程基础》这门课程的过程中，第四章通常涉及系统的动态特性分析、传递函数的建立以及系统稳定性等内容。为了帮助同学们更好地理解和掌握本章知识点，本文将围绕第四章中的典型习题，详细讲解解题思路与步骤，并提供参考答案。
一、题目解析与解题思路
例题1：已知某系统的微分方程为：
$$
\frac{d^2y}{dt^2} + 5\frac{dy}{dt} + 6y = 3u(t)
$$
其中，$ u(t) $ 为输入信号，$ y(t) $ 为输出信号。求该系统的传递函数。
解题思路：
1. 进行拉普拉斯变换：对微分方程两边同时取拉普拉斯变换，假设初始条件为零。
$$
s^2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 3U(s)
$$
2. 整理表达式：将左边的项合并，得到：
$$
Y(s)(s^2 + 5s + 6) = 3U(s)
$$
3. 求传递函数：传递函数定义为输出与输入的比值，即：
$$
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{3}{s^2 + 5s + 6}
$$
参考答案：
$$
G(s) = \frac{3}{(s+2)(s+3)}
$$
例题2：给定一个二阶系统的闭环传递函数为：
$$
G(s) = \frac{4}{s^2 + 2s + 4}
$$
试分析其阻尼比 $ \zeta $ 和无阻尼自然频率 $ \omega_n $。
解题思路：
1. 标准形式对比：二阶系统的标准传递函数形式为：
$$
G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}
$$
2. 与题目中传递函数比较：
$$
s^2 + 2s + 4 = s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2
$$
对比可得：
- $ 2\zeta\omega_n = 2 $
- $ \omega_n^2 = 4 $
3. 求解参数：
- $ \omega_n = \sqrt{4} = 2 $
- $ \zeta = \frac{2}{2\omega_n} = \frac{2}{2 \times 2} = 0.5 $
参考答案：
- 阻尼比 $ \zeta = 0.5 $
- 无阻尼自然频率 $ \omega_n = 2 \, \text{rad/s} $
例题3：判断以下系统的稳定性：
$$
G(s) = \frac{1}{s^3 + 2s^2 + 3s + 4}
$$
解题思路：
1. 系统特征方程：分母多项式即为特征方程：
$$
s^3 + 2s^2 + 3s + 4 = 0
$$
2. 使用劳斯判据：构造劳斯表如下：
| s³ | 1| 3|
| s² | 2| 4|
| s¹ | (2×3 - 1×4)/2 = 1 | 0|
| s⁰ | 4||
3. 分析符号变化：劳斯表第一列元素为 [1, 2, 1, 4]，均为正数，没有符号变化，说明系统稳定。
参考答案： 系统是稳定的。
二、总结
通过上述几道典型习题的分析，可以看出第四章的核心内容包括：
- 传递函数的求解；
- 二阶系统的参数识别（如阻尼比、自然频率）；
- 系统稳定性的判断方法（如劳斯判据）。
建议同学们在学习过程中，不仅要掌握公式推导，更要理解其物理意义，结合实际例子加深理解。
注： 本文内容基于《控制工程基础》教材第四章的知识点编写，旨在帮助学生巩固知识、提高解题能力。如需更多练习题或详细讲解，可进一步查阅相关教材或参考资料。
