例题

假设有一条曲线由函数 $y = x^2$ 定义，从 $x=0$ 到 $x=2$ 的区间内。现在需要计算这条曲线与 $x$ 轴之间的面积。

解答步骤：

1. 理解问题

我们要计算的是曲线 $y = x^2$ 在 $[0, 2]$ 区间内的面积。根据定积分的几何意义，这相当于求函数 $f(x) = x^2$ 在区间 $[0, 2]$ 上的定积分值。

2. 建立积分表达式

根据定积分公式：

$$

S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx

$$

其中 $a=0$, $b=2$, $f(x) = x^2$。因此，面积 $S$ 可表示为：

$$

S = \int_{0}^{2} x^2 \, dx

$$

3. 计算积分

使用基本的积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（其中 $C$ 是常数），我们可以得到：

$$

\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}

$$

因此，定积分的值为：

$$

S = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}

$$

4. 得出结论

曲线 $y = x^2$ 与 $x$ 轴之间的面积为 $\frac{8}{3}$ 平方单位。

总结

通过这个例子可以看出，定积分在计算平面图形的面积时是非常有效的工具。通过对函数进行积分运算，我们能够准确地得到所求区域的面积大小。希望这个简单的例题能帮助大家更好地理解和掌握定积分的应用技巧。

以上就是关于定积分应用的一个简单示例及其解答过程。如果还有其他相关问题或更复杂的题目需要探讨，请随时提出！