在数学分析中，“同阶无穷小”是一个重要的概念，用于描述两个函数在特定条件下趋于零的速度关系。简单来说，如果两个函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在某点附近都趋于零，并且它们的比值在该点处的极限为一个非零常数，则称这两个函数在这个点处是“同阶无穷小”。

现在让我们来看一个具体的例子：设 \( f(x) = \tan x - \sin x \)，\( g(x) = x^k \)，其中 \( k \) 是一个待定的常数。问题在于，当 \( x \to 0 \) 时，如何确定 \( k \)，使得 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 成为同阶无穷小？

首先，我们对 \( f(x) \) 进行泰勒展开。已知：

\[

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).

\]

因此：

\[

f(x) = (\tan x - \sin x) = \left( x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \right) - \left( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right),

\]

简化后得到：

\[

f(x) = \frac{x^3}{2} + O(x^5).

\]

接下来，我们考虑 \( g(x) = x^k \) 的形式。为了使 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在 \( x \to 0 \) 时成为同阶无穷小，需要满足：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = C,

\]

其中 \( C \) 是一个非零常数。将 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的表达式代入，得到：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{x^k}.

\]

分母和分子的最高次幂决定了极限的行为。若 \( k = 3 \)，则分子和分母的最高次幂相同，结果为一个非零常数；而当 \( k \neq 3 \) 时，极限要么发散，要么趋于零，均不符合同阶无穷小的定义。

综上所述，当 \( x \to 0 \) 时，要使 \( \tan x - \sin x \) 与 \( x^k \) 成为同阶无穷小，必须有 \( k = 3 \)。

通过上述推导，我们可以清晰地理解同阶无穷小的概念及其应用。希望这个过程能够帮助您更好地掌握相关知识！