在数学分析中，幂级数是一种非常重要的工具，广泛应用于函数的近似计算和性质研究。幂级数的形式通常为：

\[

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n

\]

其中，\(a_n\) 是系数序列，\(c\) 是展开中心点。为了保证幂级数的收敛性，我们需要确定其收敛的范围，即收敛区间。

一、基本概念与判别法

1. 收敛半径

收敛半径 \(R\) 是一个关键指标，它决定了幂级数在以 \(c\) 为中心的区间内是否收敛。若 \(|x - c| < R\)，则幂级数绝对收敛；若 \(|x - c| > R\)，则幂级数发散。当 \(|x - c| = R\) 时，需要进一步判断是否收敛。

2. 比值判别法

利用比值判别法可以求出收敛半径 \(R\)：

\[

R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|

\]

如果极限存在，则该值即为收敛半径。

3. 根值判别法

另一种方法是通过根值判别法计算：

\[

R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}

\]

二、具体步骤

求解幂级数的收敛区间分为以下几个步骤：

1. 写出幂级数形式

将给定的幂级数明确表示出来，并确定系数 \(a_n\) 和中心点 \(c\)。

2. 应用比值判别法或根值判别法

根据公式计算收敛半径 \(R\)。如果两种方法的结果一致，则取其值作为 \(R\)。

3. 检查边界点

当 \(|x - c| = R\) 时，幂级数可能收敛也可能发散。此时需逐一验证边界点是否满足收敛条件。

4. 总结收敛区间

根据上述结果，写出幂级数的收敛区间，通常表示为开区间 \((c-R, c+R)\)，闭区间 \([c-R, c+R]\)，或半开区间 \([c-R, c+R)\) 等。

三、实例解析

例如，考虑幂级数：

\[

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n!}

\]

1. 确定系数与中心点

此幂级数的系数为 \(a_n = \frac{1}{n!}\)，中心点 \(c = 1\)。

2. 计算收敛半径

使用比值判别法：

\[

R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0

\]

因此，收敛半径 \(R = +\infty\)。

3. 结论

由于收敛半径无穷大，该幂级数在整个实数轴上均收敛。

四、注意事项

- 在实际问题中，有时会出现特殊情况，如 \(R = 0\) 或 \(R = +\infty\)。

- 边界点的判断可能较为复杂，需结合具体问题灵活处理。

通过以上方法，我们可以系统地求解幂级数的收敛区间。这种方法不仅适用于理论研究，还能为工程实践提供有力支持。希望本文能帮助读者更好地理解这一重要概念！