【离散分布的期望和方差怎么求】在概率论与统计学中，离散分布是描述随机变量取有限或可数无限个值的概率分布。常见的离散分布包括二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布等。对于这些分布，我们通常需要计算其期望（均值）和方差，以了解其集中趋势和离散程度。
本文将总结几种常见离散分布的期望和方差的计算方法，并通过表格形式进行对比展示，便于查阅和理解。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在长期试验中平均取值的数学期望，也称为均值。对于离散型随机变量 $ X $，其期望定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
其中 $ x_i $ 是随机变量的可能取值，$ P(X = x_i) $ 是对应的概率。
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，计算公式为：
$$
Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见离散分布的期望与方差总结
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $（首次成功在第 k 次试验） | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | $ P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} $ |
| 均匀分布（离散） | $ P(X=k) = \frac{1}{n} $（$ k = 1, 2, ..., n $） | $ \frac{n+1}{2} $ | $ \frac{n^2 - 1}{12} $ |
四、说明
- 二项分布：描述了 n 次独立伯努利试验中成功的次数。
- 泊松分布：常用于描述单位时间内事件发生的次数，适用于稀有事件。
- 几何分布：描述首次成功前的失败次数。
- 超几何分布：用于无放回抽样，与二项分布不同。
- 均匀分布：所有结果出现的概率相等，适用于简单随机选择的情况。
通过以上表格可以快速了解各种离散分布的期望和方差计算方式，帮助我们在实际问题中更准确地进行概率建模与分析。
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