【空间向量公式】在三维几何中，空间向量是描述点、线、面位置和方向的重要工具。掌握空间向量的基本公式对于解决立体几何问题、物理中的力学分析以及计算机图形学等领域具有重要意义。以下是对空间向量常用公式的总结。
一、基本概念
| 概念 | 定义 | ||
| 向量 | 有大小和方向的量，通常表示为 $\vec{a} = (x, y, z)$ | ||
| 向量模 | 向量的长度，计算公式为 $ | \vec{a} | = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ |
| 单位向量 | 长度为1的向量，计算公式为 $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ |
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$ | ||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$ |
二、向量运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 数乘 | $k\vec{a} = (kx, ky, kz)$ | 向量与实数相乘 | ||
| 点积（数量积） | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ | 结果为标量，反映两向量夹角的余弦值 | ||
| 叉积（向量积） | $\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 - y_2z_1, z_1x_2 - z_2x_1, x_1y_2 - x_2y_1)$ | 结果为垂直于两向量的向量，方向由右手定则确定 | ||
| 模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ | 向量自身的点积开根号 |
三、向量间关系
| 关系 | 公式 | 说明 | ||||
| 垂直 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 两向量夹角为90° | ||||
| 平行 | $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ | 两向量方向相同或相反 | ||||
| 夹角 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 计算两向量之间的夹角 |
四、空间直线与平面方程
| 内容 | 公式 | 说明 |
| 直线方向向量 | $\vec{v} = (l, m, n)$ | 表示直线的方向 |
| 直线参数方程 | $x = x_0 + lt$, $y = y_0 + mt$, $z = z_0 + nt$ | 通过一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 和方向向量定义直线 |
| 平面一般方程 | $Ax + By + Cz + D = 0$ | A、B、C 是平面法向量 |
| 法向量 | $\vec{n} = (A, B, C)$ | 与平面垂直的向量 |
五、应用实例（简要）
- 求两点间的距离：设点 $A(x_1, y_1, z_1)$，点 $B(x_2, y_2, z_2)$，则距离为
$$
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$
- 判断三点共线：若 $\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0}$，则三点共线。
- 求平面方程：已知点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 和法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$，则平面方程为
$$
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
$$
通过以上内容，可以系统地了解空间向量的相关公式及其应用方法。这些知识不仅在数学学习中非常重要，也在工程、物理和计算机科学等多个领域有着广泛的应用价值。
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