【线性代数习题集带答案】在学习线性代数的过程中，练习题是巩固知识、提高解题能力的重要手段。为了帮助广大学习者更好地掌握这门课程的核心内容，本文整理了一套涵盖主要知识点的线性代数习题集，并附有详细解答，便于读者自查与理解。
一、行列式
题目1：
计算下列二阶行列式的值：
$$
\begin{vmatrix}
3 & -2 \\
4 & 5
\end{vmatrix}
$$
答案：
$$
3 \times 5 - (-2) \times 4 = 15 + 8 = 23
$$
题目2：
求三阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}
$$
答案：
使用对角线法则或展开法计算：
$$
1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)
= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)
= (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3)
= -3 + 12 - 9 = 0
$$
二、矩阵运算
题目3：
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，$ B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $，求 $ A + B $ 和 $ AB $。
答案：
$$
A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}
$$
$$
AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}
$$
三、向量空间与线性相关
题目4：
判断向量组 $ \vec{v}_1 = (1, 2, 3) $, $ \vec{v}_2 = (4, 5, 6) $, $ \vec{v}_3 = (7, 8, 9) $ 是否线性相关。
答案：
构造矩阵并计算其行列式：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
$$
该矩阵的行列式为 0（如前所述），说明这三个向量线性相关。
四、特征值与特征向量
题目5：
求矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $ 的特征值和对应的特征向量。
答案：
特征方程为：
$$
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
$$
解得特征值为 $ \lambda_1 = 1 $，$ \lambda_2 = 3 $。
对于 $ \lambda = 1 $，解方程 $ (A - I)\vec{x} = 0 $ 得到特征向量为 $ \vec{v}_1 = k(1, -1)^T $；
对于 $ \lambda = 3 $，解方程 $ (A - 3I)\vec{x} = 0 $ 得到特征向量为 $ \vec{v}_2 = k(1, 1)^T $。
五、线性方程组
题目6：
解以下线性方程组：
$$
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x + y - z = 1 \\
x - y + z = 2
\end{cases}
$$
答案：
利用消元法或克莱姆法则求解，最终得到：
$$
x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3
$$
结语
通过本习题集的练习，可以有效提升对线性代数基本概念的理解和应用能力。建议在做题过程中注重思考过程，结合教材和参考资料进行深入分析，逐步形成系统的知识结构。
如需更多习题或讲解，请持续关注后续更新。
