【数列高考复习题(含答案)】在高中数学中，数列是一个重要的知识点，也是高考中的高频考点。掌握好数列的相关知识，不仅有助于提高数学成绩，还能为后续的数学学习打下坚实的基础。本文将围绕常见的数列类型，提供一套精选的高考复习题，并附有详细解答，帮助同学们更好地理解和巩固相关知识。
一、选择题
1. 已知数列 $ \{a_n\} $ 中，$ a_1 = 2 $，且满足 $ a_{n+1} = a_n + 3 $，则第 5 项是（ ）
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
答案：B
解析：该数列为等差数列，首项为 2，公差为 3。
因此，$ a_5 = a_1 + 4d = 2 + 4×3 = 14 $
2. 若等比数列 $ \{b_n\} $ 的前三项为 3, 6, 12，则其第四项为（ ）
A. 18
B. 24
C. 20
D. 16
答案：B
解析：公比 $ q = \frac{6}{3} = 2 $，所以第四项为 $ 12 × 2 = 24 $
3. 数列 $ 1, 3, 5, 7, \ldots $ 是（ ）
A. 等差数列
B. 等比数列
C. 常数列
D. 无法判断
答案：A
解析：每一项与前一项的差为 2，符合等差数列定义。
二、填空题
4. 在等差数列中，已知 $ a_1 = 5 $，公差 $ d = -2 $，则第 7 项为 ______。
答案：-5
解析：$ a_7 = a_1 + 6d = 5 + 6×(-2) = 5 - 12 = -7 $
5. 若等比数列的首项为 4，第三项为 36，则公比为 ______。
答案：3
解析：设公比为 $ q $，则 $ a_3 = a_1 \cdot q^2 $，即 $ 36 = 4q^2 $，解得 $ q^2 = 9 $，故 $ q = 3 $（正负均可，但通常取正值）
三、解答题
6. 已知数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，且 $ a_{n+1} = 2a_n + 1 $，求通项公式。
解：
这是一个递推数列，形式为 $ a_{n+1} = 2a_n + 1 $。
我们尝试将其转化为等比数列：
令 $ b_n = a_n + 1 $，则原式变为：
$ a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1) $
即 $ b_{n+1} = 2b_n $，说明 $ \{b_n\} $ 是等比数列，首项为 $ b_1 = a_1 + 1 = 2 $，公比为 2。
所以 $ b_n = 2^n $，因此 $ a_n = b_n - 1 = 2^n - 1 $
7. 设数列 $ \{a_n\} $ 的前 n 项和为 $ S_n = 2n^2 + 3n $，求 $ a_5 $ 的值。
解：
根据数列前 n 项和公式，$ a_n = S_n - S_{n-1} $
所以 $ a_5 = S_5 - S_4 $
计算得：
$ S_5 = 2×25 + 3×5 = 50 + 15 = 65 $
$ S_4 = 2×16 + 3×4 = 32 + 12 = 44 $
因此，$ a_5 = 65 - 44 = 21 $
四、综合题
8. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 的前三项为 $ x - 1 $、$ x $、$ x + 1 $，且其前 n 项和为 $ S_n = 3n^2 - n $，求 x 的值。
解：
由前三项可知，该数列为等差数列，公差为 1。
又因为 $ S_n = 3n^2 - n $，可得：
$ S_1 = a_1 = 3×1^2 - 1 = 2 $
$ S_2 = a_1 + a_2 = 3×4 - 2 = 10 $
所以 $ a_2 = 10 - 2 = 8 $
又因为 $ a_2 = x $，所以 $ x = 8 $
五、总结
通过以上练习，我们可以看到数列问题主要考察等差数列、等比数列的基本性质及其应用。在复习过程中，建议同学们多做题、勤总结，尤其注意理解数列的通项公式与前 n 项和之间的关系，这样才能在高考中灵活应对各种题型。
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