在高中数学的学习过程中,课后习题是巩固知识、提升解题能力的重要环节。尤其是《高一数学必修1》这一教材,涵盖了集合、函数、基本初等函数等内容,是后续学习的重要基础。为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点,以下将对部分典型课后习题进行详细解析。
一、集合部分
例题:
设集合 $ A = \{x | x^2 - 5x + 6 = 0\} $,集合 $ B = \{x | x < 4\} $,求 $ A \cap B $。
解析:
首先解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $,可得:
$$
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
$$
所以 $ A = \{2, 3\} $。
集合 $ B $ 是所有小于4的实数,因此 $ A \cap B = \{2, 3\} $。
二、函数与映射
例题:
已知函数 $ f(x) = 2x + 1 $,求 $ f(3) $ 和 $ f(-1) $ 的值。
解析:
将 $ x = 3 $ 代入函数表达式:
$$
f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7
$$
将 $ x = -1 $ 代入:
$$
f(-1) = 2 \times (-1) + 1 = -2 + 1 = -1
$$
三、指数函数与对数函数
例题:
计算 $ \log_2 8 $ 的值。
解析:
根据对数定义,$ \log_2 8 $ 表示以2为底8的对数,即:
$$
2^x = 8 \Rightarrow x = 3
$$
因此,$ \log_2 8 = 3 $。
四、函数的单调性与奇偶性
例题:
判断函数 $ f(x) = x^2 $ 是否为奇函数或偶函数。
解析:
若 $ f(-x) = f(x) $,则为偶函数;若 $ f(-x) = -f(x) $,则为奇函数。
对于 $ f(x) = x^2 $,有:
$$
f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)
$$
因此,该函数是偶函数。
五、总结
高一数学必修1的内容虽然看似基础,但却是整个高中数学体系中的重要基石。通过认真完成课后习题并加以分析,能够有效提升逻辑思维能力和数学素养。建议同学们在做题时不要急于求成,应注重理解每一步的推导过程,并结合图形、实例进行深入思考。
如果你正在学习本部分内容,不妨尝试自己先动手解答,再对照答案进行查漏补缺。只有不断练习,才能真正掌握这些关键知识点。
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