在高中数学中，三角函数是一个重要的学习模块，它不仅在数学本身中占据重要地位，而且在物理、工程、计算机科学等多个领域也有广泛的应用。掌握好三角函数的相关知识，对于提高数学思维能力和解决实际问题都具有重要意义。
一、角的定义与单位
1. 角的概念
角是由一条射线绕其端点旋转所形成的图形。旋转的起始位置称为始边，终止位置称为终边。根据旋转方向的不同，角可以分为正角和负角；根据旋转的圈数，还可以分为象限角和任意角。
2. 角度制与弧度制
- 角度制：以度（°）为单位，一周为360°。
- 弧度制：以弧长等于半径的圆弧所对的圆心角为1弧度（rad）。
弧度与角度的换算关系为：
$$
180^\circ = \pi\ \text{rad} \quad \Rightarrow \quad 1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \text{rad}, \quad 1\ \text{rad} = \frac{180}{\pi}^\circ
$$
二、三角函数的定义
1. 基本定义（单位圆）
在直角坐标系中，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
$$
\sin\alpha = y, \quad \cos\alpha = x, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x}
$$
2. 三角函数的符号规律
在四个象限中，三角函数的正负号如下：
| 象限 | sinα | cosα | tanα |
|------|------|------|------|
| 一 | +| +| +|
| 二 | +| -| -|
| 三 | -| -| +|
| 四 | -| +| -|
三、三角函数的基本公式
1. 同角三角函数关系式
$$
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \quad \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
$$
2. 诱导公式
用于将任意角转化为锐角的三角函数值，常见的有：
$$
\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha, \quad \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha
$$
3. 和差角公式
$$
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
$$
$$
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
$$
$$
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
$$
4. 倍角公式
$$
\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
$$
四、三角函数图像与性质
1. 正弦函数 y = sinx
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期：2π
- 单调性：在 [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 上单调递增，在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] 上单调递减。
2. 余弦函数 y = cosx
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期：2π
- 单调性：在 [2kπ, π + 2kπ] 上单调递减，在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] 上单调递增。
3. 正切函数 y = tanx
- 定义域：x ≠ π/2 + kπ
- 值域：R
- 周期：π
- 单调性：在每个区间内单调递增。
五、三角函数的应用
1. 解三角形
利用正弦定理和余弦定理解决三角形中的边角关系问题。
2. 周期性问题
如简谐运动、交流电等，都可以用三角函数进行建模和分析。
3. 实际问题建模
在建筑、导航、天文学等领域，常利用三角函数来计算距离、高度、角度等。
六、常见误区与注意事项
- 注意区分角度制与弧度制，避免计算错误。
- 记住各象限中三角函数的符号，有助于判断结果是否合理。
- 熟练掌握公式推导过程，而不是死记硬背。
- 多做练习题，尤其是涉及图像变换和应用的问题。
通过系统地学习和理解三角函数的知识，不仅能提升数学能力，还能培养逻辑思维和问题解决能力。希望本篇总结能帮助你更好地掌握这一部分内容。
