在高中数学的学习过程中，平面向量是一个重要的知识点，也是高考中的常考点之一。平面向量以其独特的几何意义和代数运算性质，为解决几何问题提供了强有力的工具。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，本文将通过一些精选的练习题，结合详细的解答过程，为大家提供一份高质量的学习资料。
练习题一：向量的基本概念
已知向量 \(\vec{a} = (3, 4)\)，\(\vec{b} = (-2, 5)\)，求：
1. 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的模长；
2. 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的点积；
3. 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的夹角。
解析：
1. 向量的模长
向量 \(\vec{a}\) 的模长为：
\[
|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5
\]
向量 \(\vec{b}\) 的模长为：
\[
|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
\]
2. 向量的点积
向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的点积为：
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-2) + 4 \times 5 = -6 + 20 = 14
\]
3. 向量的夹角
向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的夹角 \(\theta\) 满足：
\[
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{14}{5 \times \sqrt{29}}
\]
因此，夹角 \(\theta\) 可通过反余弦函数计算得出。
练习题二：向量的线性运算
设 \(\vec{p} = 2\vec{a} - 3\vec{b}\)，其中 \(\vec{a} = (1, 2)\)，\(\vec{b} = (-1, 1)\)，求 \(\vec{p}\)。
解析：
根据向量的线性运算法则：
\[
\vec{p} = 2\vec{a} - 3\vec{b} = 2(1, 2) - 3(-1, 1)
\]
分别计算：
\[
2(1, 2) = (2, 4), \quad -3(-1, 1) = (3, -3)
\]
因此：
\[
\vec{p} = (2 + 3, 4 - 3) = (5, 1)
\]
练习题三：向量的平行与垂直
已知向量 \(\vec{m} = (x, 2)\)，\(\vec{n} = (4, y)\)，若 \(\vec{m} \parallel \vec{n}\)，求 \(x\) 和 \(y\) 的关系；若 \(\vec{m} \perp \vec{n}\)，求 \(x\) 和 \(y\) 的关系。
解析：
1. 平行条件
若 \(\vec{m} \parallel \vec{n}\)，则存在实数 \(k\) 使得 \(\vec{m} = k\vec{n}\)。即：
\[
(x, 2) = k(4, y)
\]
对应分量相等，得：
\[
x = 4k, \quad 2 = ky
\]
消去 \(k\)，得到：
\[
x = \frac{8}{y}
\]
2. 垂直条件
若 \(\vec{m} \perp \vec{n}\)，则 \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 0\)。即：
\[
x \cdot 4 + 2 \cdot y = 0
\]
化简得：
\[
4x + 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 0
\]
通过以上练习题及其详细解析，我们可以看到平面向量的核心在于理解其基本定义、运算规则以及几何意义。希望这些题目能够帮助大家巩固基础知识，并在高考中取得优异的成绩！
如果还有其他疑问或需要进一步探讨的内容，请随时留言交流！
