在数学学习中，等差数列是一个非常重要的知识点，它不仅出现在基础教育阶段，也是高等数学以及实际应用中的重要工具之一。为了帮助大家更好地掌握这一概念，本文将通过一系列精选习题来巩固和深化对等差数列的理解，并附上详细的解答过程。

什么是等差数列？

等差数列是指这样的一种数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这个常数被称为公差，通常记作d。如果首项为a₁，则第n项an可以表示为：

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

习题精选

以下是几道关于等差数列的基础题目：

习题1

已知一个等差数列的第一项为3，公差为4，请计算该数列的第五项。

解答

根据公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，代入已知条件：

\[ a_5 = 3 + (5-1) \times 4 = 3 + 16 = 19 \]

因此，第五项为19。

习题2

若一个等差数列的第三项是7，第七项是19，求该数列的首项和公差。

解答

设首项为 \( a_1 \)，公差为 \( d \)。根据等差数列的通项公式：

\[ a_3 = a_1 + 2d = 7 \]

\[ a_7 = a_1 + 6d = 19 \]

联立方程组解得：

\[ a_1 = 1, \quad d = 3 \]

所以，首项为1，公差为3。

习题3

某等差数列共有10项，第一项为2，最后一项为50，求该数列的公差。

解答

利用等差数列的通项公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，其中 \( n=10 \)，\( a_{10} = 50 \)，\( a_1 = 2 \)：

\[ 50 = 2 + (10-1)d \]

\[ 48 = 9d \]

\[ d = 5.33 \]

因此，公差为5.33。

总结

通过以上三道习题及其解答，我们可以看到等差数列的基本性质和计算方法。熟练掌握这些基础知识对于解决更复杂的数学问题至关重要。希望本文提供的练习和解答能够帮助读者加深对等差数列的理解，并在实践中灵活运用。

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